3.2 Longitud de curvas

La longitud de una curva plana se puede aproximar al sumar pequeños segmentos de recta que se ajusten a la curva, esta aproximación será más ajustada entre más segmentos sean y a la vez sean lo más pequeño posible.




Si la primera derivada de una función es continua en [a,b] se dice que es suave y su gráfica es una curva suave.
Cuando la curva es suave, la longitud de cada pequeño segmentos de recta se puede calcular mediante el teorema de Pitágoras y (dL)2=(dx)2+(dy)2, de tal forma que sumando todos los diferenciales resulta:

Si f es suave en [a,b], la longitud de la curva de f(x) desde a hasta b es:





Suponiendo que se tiene una curva rectificable cualquiera, determinada por una función , y suponiendo que se quiere aproximar la longitud del arco de curva s que va desde un punto a a uno b. Con este propósito es posible diseñar una serie de triángulos rectángulos cuyas hipotenusas concatenadas "cubran" el arco de curva elegido tal como se ve en la figura. Para hacer a este método "más funcional" también se puede exigir que las bases de todos aquellos triángulos sean iguales a Δx, de manera que para cada uno existirá un cateto Δy asociado, dependiendo del tipo de curva y del arco elegido, siendo entonces cada hipotenusa, , al aplicarse el teorema de Pitágoras. Así, una aproximación de s estaría dada por la sumatoria de todas aquellas n hipotenusas desplegadas. Por eso se tiene que:

3.3 Calculo de Volumenes de Solidos

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3.4 Calculo de Centroides

La masa se considera una medida absoluta de la cantidad de materia de un cuerpo, sin embargo, son
tantas las aplicaciones en que aparece la masa en la superficie terrestre, que tendemos a igualar la masa de un
objeto con su peso. Esto es técnicamente incorrecto. El peso, es un tipo de fuerza y, como tal, depende de la
gravedad. Fuerza y masa se hayan relacionados por la ecuación
Fuerza = Masa × Aceleración
Antes de introducir el concepto de centroide, conviene recordar el concepto de momento de masa respecto a
un punto.
Definición: Sean m m 1 n
, , n masas situadas en x x 1 n
, , sobre el eje X . Entonces:
1. El momento respecto del origen es M m x m x 0 1 1
= + + n n
2. El centro de masas es x

Podemos extender el concepto de momento a dos dimensiones considerando un sistema de masas situadas en
los puntos ( , ),( , ), ,( , ) x y x y x y
1 1 2 2 n n
, pero en lugar de definir un único momento (con respecto al origen),
definimos dos momentos, uno respecto al eje X y otro respecto al eje Y.

Definición: Sean las masas puntuales m m 1 n
, , situadas en ( , ), ,( , ) x y x y
1 1 n n
respectivamente.
Entonces:
1. El momento respecto del eje Y es M m x m x y n n
= + + 1 1 .
2. El momento respecto del eje X es M m y m y
x n n
= + + 1 1 .
3. El centro de masas (o centro de gravedad) ( , ) x y


En lo tratado hasta aquí hemos supuesto que la masa total de un sistema se encuentra distribuida en puntos
discretos de un plano (o de una recta). Ahora consideramos una placa plana de un material de densidad
uniforme ( la llamaremos lámina). Intuitivamente, vemos el centro de masas ( , ) x y de la lámina como su
punto de equilibrio. Por ejemplo, el centro de masas de una lámina circular está situada en el centro del
círculo, y el centro de masas de una lámina rectangular está situado en el centro del rectángulo.
Considérese una lámina plana de contornos irregulares y densidad uniforme ρ limitada por las gráficas de
y f x y g x con a x b = = ≤ ≤ ( ) , ( ) , .

Cybergrafia: http://webpages.ull.es/users/bjglez/aplicaciones_de_la_integral.pdf

3.5 Otras Aplicaciones

Teorema (de Pappus): Sea R una región del plano y L una recta en ese plano que no corta al interior de R.
Si r es la distancia del centroide de R a la recta L, el volumen del sólido de revolución generado al girar R en
torno a la recta L viene dado por:
V rA = 2π
Donde A es el área de R. (Obsérvese que 2πr es la distancia que recorre el centroide de la región al girar en
torno a la recta L). n
El teorema de Pappus se puede utilizar para calcular el volumen de un toro, figura en forma de rosquilla que
se genera haciendo girar una región circular en torno a una recta que esté en su mismo plano y que no corte
al círculo.

La Acústica, Masterización y Ecualización



El Envolvente ADSR (Ataque, Decaimiento, Sostenido y Relajacion) Etapas del Sonido

4.1 Definición de serie

En matemáticas, una serie es la suma de los términos de una sucesión. Se representa una serie con términos a_n como donde n es el índice final de la serie. Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales, es decir, .

Las series convergen o divergen. En cálculo, una serie diverge si no existe o si tiende a infinito; puede converger si para algún .

• Una serie geométrica es una serie en la cual cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante, llamada razón. Ejemplo (con constante 1/2):

En general, una serie geométrica, de razón z, es convergente, sólo si |z| < 1, a:

• La serie armónica es la serie

La serie armónica es divergente.

• Una serie alternada es una serie donde los términos alternan el signo. Ejemplo:

• Una serie telescópica es la suma , donde a_n = b_n − b_n+1. Se representa de la siguiente manera:

La convergencia de dicha serie y su suma se pueden calcular fácilmente, ya que:

• Una serie hipergeométrica^[1] es una serie de la forma , que cumple que = .