3.2 Longitud de curvas

La longitud de una curva plana se puede aproximar al sumar pequeños segmentos de recta que se ajusten a la curva, esta aproximación será más ajustada entre más segmentos sean y a la vez sean lo más pequeño posible.




Si la primera derivada de una función es continua en [a,b] se dice que es suave y su gráfica es una curva suave.
Cuando la curva es suave, la longitud de cada pequeño segmentos de recta se puede calcular mediante el teorema de Pitágoras y (dL)2=(dx)2+(dy)2, de tal forma que sumando todos los diferenciales resulta:

Si f es suave en [a,b], la longitud de la curva de f(x) desde a hasta b es:





Suponiendo que se tiene una curva rectificable cualquiera, determinada por una función , y suponiendo que se quiere aproximar la longitud del arco de curva s que va desde un punto a a uno b. Con este propósito es posible diseñar una serie de triángulos rectángulos cuyas hipotenusas concatenadas "cubran" el arco de curva elegido tal como se ve en la figura. Para hacer a este método "más funcional" también se puede exigir que las bases de todos aquellos triángulos sean iguales a Δx, de manera que para cada uno existirá un cateto Δy asociado, dependiendo del tipo de curva y del arco elegido, siendo entonces cada hipotenusa, , al aplicarse el teorema de Pitágoras. Así, una aproximación de s estaría dada por la sumatoria de todas aquellas n hipotenusas desplegadas. Por eso se tiene que:

3.3 Calculo de Volumenes de Solidos

Trabajos en AutoCAD

Practica 0 PDF

Practica 1 PDF

Practica 2 PDF

Practica 3 PDF

Practica 4 PDF

Practica 5 PDF

3.4 Calculo de Centroides

La masa se considera una medida absoluta de la cantidad de materia de un cuerpo, sin embargo, son
tantas las aplicaciones en que aparece la masa en la superficie terrestre, que tendemos a igualar la masa de un
objeto con su peso. Esto es técnicamente incorrecto. El peso, es un tipo de fuerza y, como tal, depende de la
gravedad. Fuerza y masa se hayan relacionados por la ecuación
Fuerza = Masa × Aceleración
Antes de introducir el concepto de centroide, conviene recordar el concepto de momento de masa respecto a
un punto.
Definición: Sean m m 1 n
, , n masas situadas en x x 1 n
, , sobre el eje X . Entonces:
1. El momento respecto del origen es M m x m x 0 1 1
= + + n n
2. El centro de masas es x

Podemos extender el concepto de momento a dos dimensiones considerando un sistema de masas situadas en
los puntos ( , ),( , ), ,( , ) x y x y x y
1 1 2 2 n n
, pero en lugar de definir un único momento (con respecto al origen),
definimos dos momentos, uno respecto al eje X y otro respecto al eje Y.

Definición: Sean las masas puntuales m m 1 n
, , situadas en ( , ), ,( , ) x y x y
1 1 n n
respectivamente.
Entonces:
1. El momento respecto del eje Y es M m x m x y n n
= + + 1 1 .
2. El momento respecto del eje X es M m y m y
x n n
= + + 1 1 .
3. El centro de masas (o centro de gravedad) ( , ) x y


En lo tratado hasta aquí hemos supuesto que la masa total de un sistema se encuentra distribuida en puntos
discretos de un plano (o de una recta). Ahora consideramos una placa plana de un material de densidad
uniforme ( la llamaremos lámina). Intuitivamente, vemos el centro de masas ( , ) x y de la lámina como su
punto de equilibrio. Por ejemplo, el centro de masas de una lámina circular está situada en el centro del
círculo, y el centro de masas de una lámina rectangular está situado en el centro del rectángulo.
Considérese una lámina plana de contornos irregulares y densidad uniforme ρ limitada por las gráficas de
y f x y g x con a x b = = ≤ ≤ ( ) , ( ) , .

Cybergrafia: http://webpages.ull.es/users/bjglez/aplicaciones_de_la_integral.pdf

3.5 Otras Aplicaciones

Teorema (de Pappus): Sea R una región del plano y L una recta en ese plano que no corta al interior de R.
Si r es la distancia del centroide de R a la recta L, el volumen del sólido de revolución generado al girar R en
torno a la recta L viene dado por:
V rA = 2π
Donde A es el área de R. (Obsérvese que 2πr es la distancia que recorre el centroide de la región al girar en
torno a la recta L). n
El teorema de Pappus se puede utilizar para calcular el volumen de un toro, figura en forma de rosquilla que
se genera haciendo girar una región circular en torno a una recta que esté en su mismo plano y que no corte
al círculo.

La Acústica, Masterización y Ecualización



El Envolvente ADSR (Ataque, Decaimiento, Sostenido y Relajacion) Etapas del Sonido

4.1 Definición de serie

En matemáticas, una serie es la suma de los términos de una sucesión. Se representa una serie con términos a_n como donde n es el índice final de la serie. Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales, es decir, .

Las series convergen o divergen. En cálculo, una serie diverge si no existe o si tiende a infinito; puede converger si para algún .

• Una serie geométrica es una serie en la cual cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante, llamada razón. Ejemplo (con constante 1/2):

En general, una serie geométrica, de razón z, es convergente, sólo si |z| < 1, a:

• La serie armónica es la serie

La serie armónica es divergente.

• Una serie alternada es una serie donde los términos alternan el signo. Ejemplo:

• Una serie telescópica es la suma , donde a_n = b_n − b_n+1. Se representa de la siguiente manera:

La convergencia de dicha serie y su suma se pueden calcular fácilmente, ya que:

• Una serie hipergeométrica^[1] es una serie de la forma , que cumple que = .

4.1.1 Finita

Una serie es la suma de los términos de una sucesión. Se representa una serie con términos a_n como  

donde n es el índice final de la

serie. Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales, es decir,      .

Las series convergen o divergen. En cálculo, una   serie diverge si    no existe o si tiende a infinito; puede converger si 

Serie finita

x_i = 0 para todo i > n y y_i = 0 para todo i > m. En este caso el producto de

Cauchy de   

Por lo tanto, para series finitas (que son sumas finitas), la multiplicación de Cauchy es directamente la multiplicación de las series.

Serie infinita

§  Primer ejemplo. Para alguna      

                 por definición y la fórmula binomial. Dado que, formalmente    se ha demostrado que   

Como el límite del producto de Cauchy de dos series absolutamente convergentes es igual al producto de los límites de esas series (véase debajo), se ha demostrado por lo tanto la fórmula exp(a + b) = exp(a)exp(b) para todo   

Segundo ejemplo. Sea x(n) = 1 para todo, por lo tanto el producto de Cauchy

                               fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Serie_matem%C3%A1tica 

4.2 Serie numérica convergencia

SERIES NUMERICAS.

1. Convergencia.
Si {an} es una sucesi´on de numeros reales, se define la serie de termino general an y
se escribe
P1
n=1 an como:
1X
n=1
an = lim (a1 + · · · + an).
Si este l´ımite de la n-´esima suma parcial a1 + · · · + an es finito, se dice que la serie es
convergente; si es infinito o no existe, que es divergente.

2. Convergencia absoluta.
Se dice que la serie
P
an es absolutamente convergente si la serie
P
|an| es convergente.
Toda serie absolutamente convergente es convergente.
Si una serie es absolutamente convergente, entonces cualquier reordenaci´on suya tambi
´en lo es y tiene el mismo valor.
Se dice que una serie es condicionalmente convergente si es convergente, pero no
absolutamente convergente.
3. Propiedades.
• El car´acter (convergente o divergente) de una serie no cambia si se modifica un
n´umero finito de sus terminos.
• Para que la serie
P
an converja es necesario que lim an = 0.
• Si las series Pan y Pbn convergen, entonces: Pan + bn y P_an, con _ 2 R,
tambien, teniendose:
X
(an + bn) Xan +Xbn yX_an = _Xan.

4.3 Serie de potencias

Serie de potencias

Es una serie de ecuaciones que tiene la forma

a0 + a1 (x-a) + a2  (a-x)^2 + ……… an (x-a)^n + ……….

A esto se le llama serie de potencias, aquí las constantes a0, a1…….., an……., se llaman también los coeficientes de la serie. Esta serie está dispuesta según las potencias crecientes del binomio x-a.

Cuando a=0, tenemos una serie de potencias de x que es un caso particular de la serie.

Para determinar el dominio de convergencia de la serie sustituimos en esta ecuación la variable

x – a =X

Después de la sustitución la ecuación toma el siguiente aspecto:

a0 + a1X + a2X^2 +………+ anX^n +…….,

Es decir hemos obtenido la serie de potencias de X. 

4.4 Radio de convergencia

En matemáticas, según el teorema de Cauchy-Hadamard, el radio de convergencia de una serie de la forma , con , viene dado por la expresión:

DEFINICION


Si nos limitamos al conjunto de los números reales, una serie de la forma , con , recibe el nombre de serie de potencias centrada en x₀. La serie converge absolutamente para un conjunto de valores de x que verifica que | x − x₀ | < r, donde r es un número real llamado radio de convergencia de la serie. Esta converge, pues, al menos, para los valores de x pertenecientes al intervalo (x₀ − r, x₀ + r), ya que la convergencia para los extremos de este ha de estudiarse aparte, por lo que el intervalo real de convergencia puede ser también semiabierto o cerrado. Si la serie converge solo para x₀, r = 0. Si lo hace para cualquier valor de x, r = 













EJEMPLOS

Mostraremos el radio de convergencia de algunos desarrollos en series de potencias con sus respectivos radios de convergencia sin justificar porqué el radio de convergencia es el dado.

Radio de convergencia finito

La función 1 / (1 − x) en su desarrollo con centro 0, o sea, en series de potencia x − x₀ = x − 0 = x, tiene el siguiente aspecto:

.

(para el cálculo de la serie vea serie de Taylor). Su radio de convergencia es r = 1. Eso significa que para calcular si tomo cualquier valor cuya distancia al x₀ = 0 es menor que r = 1, por ejemplo el x = 0.25, entonces al remplazarlo en la serie el resultado de calcular la serie será el mismo que remplazarlo en la función, de hecho

.

(la cuenta se puede hacer por serie de potencia). Y por otro lado

.

Pero si tomamos un elemento fuera del radio de convergencia, por ejemplo el x = 2, los más probable es que al remplazarlo en la serie, ésta diverja (por eso el nombre de radio de convergencia). Efectivamente:

.

Distancia a la singularidad

El cálculo del radio de convergencia no es simple. Veamos una función con dos desarrollos en serie con distintos centros y analicemos sus radios de convergencia. La misma función 1 / (1 − x) en su desarrollo con centro x₀ = 3 tiene la forma:

.

Pero en este caso su radio de convergencia es r = 2. Notemos que la función 1 / (1 − x) tiene una singularidad en el 1; y que en los dos caso anteriores el radio de convergencia coincide con la distancia del centro a la singularidad: | 0 − 1 | = 1 y | 3 − 1 | = 2. Esto será siempre verdadero para ésta función, pero, no puede generalizarse, como veremos en el siguiente ejemplo:

Como no hay singularidades reales podría suponerse que el radio es infinito, sin embargo su radio de convergencia es . Este radio parece caprichoso pero tiene que ver con el hecho de que pasando la función a dominio complejo, existe una singularidad en el denominador.La serie

Radio de convergencia infinito

Por ejempo, la función e^x puede desarrollarse en series de potencia de x − 0 = x, de hecho .

y esto vale para todo real x por eso el radio de convergencia será infinito.

Tema 4.5 Serie de Taylor

¿Para que sirve?

La serie de Taylor proporciona una buena forma de aproximar el valor de una función en un punto en términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto.

Por supuesto, para hacer esta aproximación sólo se pueden tomar unas cuantas expresiones de esta serie, por lo que el resto resulta en un error conocido como el término residual, es a criterio del que aplica la serie en numero de términos que ha de incluir la aproximación.
Pueden resolver por aproximación funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas etc...


¿Cómo funciona?

La serie de Taylor se basa en ir haciendo operaciones según una ecuación general y mientras mas operaciones tenga la serie mas exacto será el resultado que se esta buscando.

f(x)=f(a)+f'(a)/1! + f''(a)/2!(x-a)^2+......+ f'''(a)/n!(x-a)

Donde n! es el factorial de n
F(n) es la enésima derivada de f en el punto a
Como se puede observar en la ecuación, hay una parte en la cual hay que desarrollar un binomio (x-a) n por lo que para simplificar el asunto se igualara a "a" siempre a 0. Para fines prácticosno afecta mucho en el resultado si se hacen muchas operaciones en la serie.


Teorema de Taylor: Si la función f y sus primeras n+1 derivadas son continuas en un intervalo que contiene a a y a x, entonces el valor de la función en un punto x está dado por:
La expansión en series de Taylor de n-ésimo orden debe ser exacta para un polinomio de n-ésimo orden.
Para otras funciones continuas diferenciables, como las exponenciales o sinusoidales, no se obtiene una estimación exacta mediante un número finito de términos.
El valor práctico de las series de Taylor radica en el uso de un número finito de términos que darán una aproximación lo suficientemente cercana a la solución verdadera para propósitos prácticos.

Cybergrafia: http://www.tonahtiu.com/notas/metodos/serie_taylor.htm

Tema 4.6 Representacion de Funciones por Serie de Taylor

Si escribimos formalmente la serie de Taylor de una forma entonces para demostrar quella serie escrita efectivamente representa la función dada. Es preciso demostrar que el termino complementario tienda a cero, o convencerse, de una u otra manera, de que la serie escrita converge hacia la función dada.


Notemos que para cada una de las funciones elementales determinadas existiera y R tales que enel intervalo (a – R, a + R) esta se desarrolla en la serie de Taylor.
De lo Expuesto se deduce que la serie de Taylor REPRESENTA la función dada f(x) solo cuando lim Rn (x) = 0. Si lim Rn (x) != o, la serie no representa la función dada, aunque puede converger (hacia otra función).


N.PISKUNOV
Calculo diferencial e integral (Tomo II)
Editorial Mir Moscu

Tema 4.7 Calculo de integrales expresadas como series de Taylor.

La principal pregunta pendiente es esta: dada una función f(por ejemplo, senx o ln(cos^2x)), ¿podemos representar la mediante una serie de potencias en X o más en general en X-a?
Mas precisamente, ¿podemos hallar números C0, C1, C2, C3……..tales que
F(x)=C0 + C1(x-a) + C2(x-a)^2 + C3(x-a)^3 +……………………
Para x que pertenece a algún intervalo entorno de a?
Suponga que tal representación existe entonces: por el teorema de una derivación de una serie
f’(x)=C1 +2C2 (x-a) + 3C3 (x-a)^2 + 4C4 (x-a)^3 + …………..
f’’(x)= 2!C2 + 3!C3 (x-a) + 4*3 C4 (x-a)^2 + ……………….
F’’’(x)= 3!C3 + 4!C4 (x-a) + 5*4*3 C5 (x-a)^2 + …………….
Al sustituir x=a y resolver para Cn, obtenemos:
C0=f(a)
C1=f’(a)
C2=f’’(a)/2!
C3=f’’’(a)/3!
Y mas generalmente
Cn=f(n)(a)/n!


PURCELL, Varberg Rigdon
Calculo
Pearson - 2007

Y espero a que el Profesor me Ponga OK y.......... nada! Jajaja

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